如果有人说，你能将一个地球那么大的东西分解成若干（有限）个部分，然后将这些部分分别经过多次旋转或者平移（都是刚性的，不做任何变形），重新拼接在一起竟然可以变得像乒乓球那么大，你是不是觉得不可思议呢？

 

1924年，Banach-Tarski提出并证明的分球定理恰恰保证了这一点。该定理说：一个球U可以分解为两个不相交的集合X和Y的并，使得U全等于X，也全等于Y。两个集合全等就是说这两个集合可以分别分解为相同数目的有限个不相交的子集的并，其中对应的两个子集可以经旋转和平移完全重合。多次运用分球定理，当然就可以让地球这么大的东西全等于小小乒乓球啦。可谓“藏须弥于芥子”啊。

 

这个极度违背人们日常常识的东西竟然是数学的定理？！是的，令人惊讶，但它与所有其它的数学结论都没有任何矛盾。有时候，常识也未必像你想象的那样永远可靠呢。

 

简单的说，这个结论和大家的常识不一致的根本原因是两个集合虽然全等，但有可能它们都没有办法定义符合常识的体积（不是说体积为0哦，而是没有办法定义体积）。所以虽然地球和乒乓球全等，但它们的体积还是可以很悬殊的。

(3)“盖无论何人之言，决不肯漫然置信，必求其所以然之故；常从众人所不注意处觅得间隙，既得间，则层层逼拶，直到尽头处；苟终无足以起其信者，虽圣哲父师之言不信也。”

 

(4)吾乡前辈大师戴震：“不以人蔽己，不以己自蔽”，“传信不传疑”，“知十而皆非真，不若知一之为真知也。”

 

最后一句话，实在令人深思啊！如果日积月累积累真知，全人类的知识就会逐渐增长，不会陷入“生住异灭”的循环。

 

(5)还是戴震：“尊者以理责卑，长者以理责幼，贵者以理则贱，虽失之谓顺；卑者幼者贱者以理争之，虽得谓之逆。于是下之人不能以天下之同情、天下之同欲达之与上；上者以理责其下，而在下之罪，人人不胜指数。人死于法，犹有怜之者；死于理，其谁怜之！”

 

(6)康有为《大同书》：“无家族，男女同栖不得逾一年，届期须易人。”

 

柏拉图《理想国》，马克思对家庭都有类似这样的想法，看来这些哲人的乌托邦都对付不了家庭导致的私心。这样违背人性的东西也只能在乌托邦中存在。

 

(7)“故吾所恶乎舞文贱儒，动以西学缘附中学者，以其名为开新，实则保守，煽思想界之奴性而滋益之也。”“摭古书片词单语以傅会今义，最易发生两种流弊。一、倘所印证之义，其表里适相吻合，善已；若稍有牵合附会，则最易导国民以不正确之观念，而缘郢书燕说以滋弊。……”

 

(8)“今后欧美科学，日日输入，我国民用其遗传上极优粹之科学的头脑，凭借此等丰富之资料，将来必可成为全世界第一等的‘科学国民’。”

 

梁氏八九十年前的这个预言，看来基本落空了。实际上，我国国民目前迫切需要的，还是科学的启蒙，科学的普及。我国民中少数优粹的科学的头脑被淹没于无所不在的非理性不重实证的传统文化之中。梁氏以为的中国文艺复兴－－清代朴学在中国实际上起到的作用和文艺复兴相去甚远，其原因还待我们思索。

 

(9)“……物质文明烂熟，而‘精神上之饥饿’益不胜其苦痛。佛教哲学，盖应于此时代要求之一良药也。”

 

梁氏此语，大谬也。且与他所肯定的(3)(4)(7)等条自相矛盾，也说明梁氏文章，热情鼓吹很是动人，但不以说理见长。

 

精神上的饥饿，不必须要信仰某种宗教或哲学来治疗。让我引用柯南翻译的Richard Dawkings的《科学是一种宗教吗？》（http://www.oursci.org/magazine/200505/0512.htm）的两段话说明这一点：

 

“提供安慰对科学而言更困难。和宗教不同，科学不能让人们和他们所爱的人在死后团圆。从科学的观点看，这个世界上被损害的人，无法期待伤害到他们的人来世会遭到大快人心的因果报应。我们可以争辩说，如果来生的说法是虚幻的（我相信它是虚幻的），它所提供的安慰是虚伪的。但是这还不够，倘若人们永远没有发现它是虚妄的，一个虚假的信念能够和一个真实的信念一样提供安慰。但是如果安慰来的那么廉价，科学也能提供其他的廉价手段，例如止痛片。这些手段提供的安慰或许是或者不是幻觉，但是它们确实有效。

 

“然而，科学确实能做到振奋人心。所有大的宗教都为崇敬、对奇迹和宇宙之美的赞叹留下了空间。令人颤抖和喘气的崇敬——几乎是膜拜——心中对奇迹的赞叹，这些正是科学可以提供的。它远远超越了圣徒和神秘主义者最疯狂的梦想。超自然在我们（对世界的）解释中没有任何位置的这一事实、我们对宇宙和生命如此丰富的理解，并没有减少敬畏。正相反，仅仅在显微镜下一瞥蚂蚁的大脑，或者从望远镜中一瞥拥有10亿个世界的古老星系，就足够让井底之蛙式的赞美诗相形见绌。”

 

精神上的饥饿，只能通过疑问、求真、创造加以消解。

(1)“佛说一切流转相，例分四期，曰：生、住、异、灭。”

 

梁氏借此说明所有学说或思潮，分为启蒙期（生）、全盛期（住）、蜕分期（异）、衰落期（灭）。这个说法有些武断了。凡科学学说，一旦被实验证实，则基本上永远保持其正确性，只是有可能在扩大使用范围时会出错。比如牛顿力学，比如生物进化论。数学也基本上不会衰落，只有协调和完备与否的问题。那些不可实证的学说则有可能适合梁氏的说法，比如梁氏论及的清代学术，又比如心理学，还比如绝大多数所谓社会科学。

 

(2)“凡事物之含有宗教性者，例不许作为学问上研究之问题。一作为问题，其神圣之地位固已摇动矣！”

 

此言说得好！其实，又有什么不可以研究的问题呢？欧洲的启蒙运动正是从试图讨论那些教会不允许的问题开始的。所谓“人文主义”，说到底就是以人为中心，破一切神圣的东西。目前“中华文化”“老祖宗”就是这样神圣的东西。有以“中华文化”作为挡箭牌拒绝对风水啦、中医啦等进行科学研究的，岂不谬哉！

 

翻译自美国作家Fredrick Brown的微型小说：

 

瓦尔特是个不折不扣的唯我主义者，就是那些只相信他自己是唯一真实的存在的人。在他们眼里，其他人甚至整个世界都只不过是出于他的想象，一旦他停止想象，它们都将不复存在。

 

某天瓦尔特准备实证他的唯我主义哲学。在这个星期里，老婆跟另一个男人跑了，他又失去了搬运工的工作，连赶开挡路的黑猫时都会摔断了腿。
 
他在医院里暗自决定结束这个不能更糟糕了的世界。
 
看向窗外，注视着群星，他想着它们很快都将消失，果然那些星星就真的消失了。接着他决定让所有其他的人都化为乌有，于是这医院就很奇异地寂静下来。嗯，很好，下面，干掉这个世界吧。这样，他发现自己存在于虚无之中了。于是他又很容易地消除了自己的肉体。还剩最后一步，就是连他自己也彻底清除，一切就结束了。
 
然而没有作用，自己依然存在。
 
怎么回事啊，太奇怪了，他想，难道我的哲学还有什么局限？
 
“是的”，虚无中有个声音响起。
 
“你是谁？”瓦尔特问。
 
“你刚刚用思维灭绝了整个宇宙，而我就是创建那个宇宙的人。现在你可以接我的班了——”，那人深深呼吸了一下，“——我终于可以结束我自己了。我太累了，还是你来顶替我吧。”
 
“可是，我怎么结束呢？你知道我正试图这样做……”
 
“是的，我知道，”那个声音说道，“那也就是我曾经试图去做的。你也必须重复我的方法，就是说，重新创建一个宇宙。你得一直等到有个人象你一样相信唯我主义的哲学而且他想结束的时候，你就可以让他接替你，而你就可以退休了。再见吧。”

 

声音寂灭了。
 
留下独自在虚无中的瓦尔特。而他也只有一件事好做——他创造了天和地。
 
这花了他七天时间。

 

顺便说一下，瓦尔特的全名是瓦尔特·B·耶和华。

    费孝通先生的《乡土中国》，久闻其名，最近才开始读。

    这本薄薄的一小册书很有趣味，有些观点比较有意思，比如谈及中国“家族”的作用推论出异性尤其是夫妻感情淡漠，比如论及“差序格局”对国人有私德无公德的道德观念的无情剖析（附带说一下，“差序格局”倒是颇类似于李宗吾先生的《心理与力学》里面的观点）等等。

    但是我以为也有很多过于牵强倒因为果的地方。

    比如论及文字下乡的部分，其主要观点是因为乡土社会中语言的重要程度大于文字，因而文字不能流行。这个恐怕不能这样说。实际上乡间对识文断字的人是非常尊重的，还有“敬惜字纸”的说法，景况好些的人家都会送儿子上私塾。千年以来的科举制度，使得文字有种特别的功效－－改善家族的处境。是的，乡土社会中确实语言比文字更普遍，那是因为很多人不识字不得已，而不是文字不重要。不识字的原因我想主要还是贫穷，而贫穷的主要原因当然应该是繁重的赋税和重农轻商。那么这样说来，文字不能流行就不是因为大家相互太熟悉因而文字作为交流工具显得不是那么重要，而是由于国家政策导致大多数人不能识字导致的。毕竟我想任何人包括费先生所说的乡土社会中的人都有追求更好的地位更好的生活的向往的。

    还有其它一些小意见，等下回再说。

    数学家罗素曾经这样说过，“数学是这样的一门学问，它既不知道自己说的是什么，也不知道自己说得是否正确”（大意，找不到原文了）。这句话看上去很让人吃惊，毕竟大部分人认为数学是最精确最不会出错的学科。

    其实他的话可以这么来理解。

    数学的各种命题都会涉及到很多概念，有些概念是用另外的概念定义的。比如“三角形是三个首尾相接的线段组成的图形”，这里三角形是用线段来定义的。那么总会有些概念是无法定义的，这些被成为原子概念。比如几何学里面的“点”、“线”、“面”等。这样这些原子概念数学就不在追究它们究竟是什么，于是“数学就不知道自己说得是什么了”。

    数学里面有很多定理，很多定理都是通过其它定理来证明的。三国时期吴国的赵爽曾经用“面积定理”来证明“勾股定理”，参见http://www.mmit.stc.sh.cn/telecenter/CnHisScience/ggdl.htm。这样一定也存在一些没有办法证明的定理，这些定理一般被称为公理。几何学里面比较有名的公理是“平行公理”，即过直线外一点只能作一条平行线，该公理被提出来以后的一千多年里一直有人试图证明它但都失败了。这些公理究竟是否正确，数学也是不关心的，所以说“数学也不知道自己说得是否正确”。

    这么说，岂不是大事不妙，我们怎么能依赖这个胡说八道的数学呢？

    其实，可以从两个方面来考虑。

    首先，关于概念的问题，只是一个“名”和“实”的问题。数学大师希尔伯特也说，“我们必须可以用桌子、椅子、啤酒杯而不是点、线、面来同样展开我们的几何学”，原子概念不可定义又有什么关系呢，毕竟这些概念间的关系是才是最重要的也是我们最关心的。

    其次，关于公理的问题，这个比较复杂，又涉及到三个问题。

    其一是，数学公理和概念是否代表实际，代表到什么程度。你在地球表面上尽可能画两条平行的直线，因为地球是圆的，它们迟早要相交。在空间，光线的路径应该是直线吧，可是根据爱因斯坦的广义相对论，光线会被引力场弯曲。这样我们知道了，没有纯粹的点，也没有纯粹的直线和平面，所以概念以及概念之上的公理并不能完全地符合实际。但是在小范围内还是符合得很好，数学大师高斯和黎曼就证明了曲面局部性质和平面几何是一致的。

    其二是，公理之间是不是协调的，有没有矛盾。有矛盾的意思是，在公理系统中通过逻辑推理可以推出互相否定的定理来。这个问题的一个附属问题是，公理之间是否是独立的，就是说，其中的某个公理是不是不需要，可以从别的公理推出来。研究某个公理是否独立，就是用将该公理以其否定了来代替看替换过后的体系是否是协调的来判定。哥德尔、科恩等逻辑学家已经证明了我们目前采用的数学公理体系是没有矛盾的相互独立的。

    其三是，公理体系是不是完备的。完备的意思是，这个体系能否证明所有理论上可能的定理，当然其中的某些证明实际上可能需要很多时间和人力。哥德尔第一不完备性定理回答了这个问题，该定理说一切包含算术系统的公理体系，要么是有矛盾的，要么是不完备的。换句话说，所有包含算术系统在内的无矛盾的公理体系都是不完备的，有些定理是无法证明的。这个结果看上去很悲观，但实际上才充分说明了数学是不可穷尽的，是丰富多彩的。很多数论上有名的问题得不到回答可能就是这个原因。

    嗯，从上面说的这些，我们可以看出，罗素的话看上去不可思议，其实正好说明了数学的严谨，也就是说数学对自己究竟能解决哪些问题不能解决哪些问题这个涉及到本身的问题也有着精确的回答。这，就是严密的精确的美丽的数学。

 

还记得十七年前上大学时候的一个晚上，我们宿舍的八个人不知怎么就热烈讨论起“是先有鸡还是先有蛋？”的问题。我那个时候以为这是一个关于名词定义的哲学问题，是无解的。但是对这类问题的兴趣却一直深深埋在我的心底。后来有空读了一些生物学尤其是进化论方面的科普书籍，其中《自私的基因》《进化是什么》等几本书更是让我看了一个又一个通宵。这之后的某天，突然我明白了，“鸡与蛋”的问题并非是一个哲学问题，而是一个进化论的问题，是可以有精确的答案的。

达尔文的进化论的一个基本论点是所有的生物拥有共同的祖先，这个论点已经被大量的生物学研究所证实，《伊甸园之河》这本书里面还用了相当多的篇幅论证了这个论点。而且进化的历史就是物种分化的历史，就是博物学上物种分类的依据。因此我们可以断定最早的鸡一定有其父母，而且既然这是最早的鸡，那么其父母就不会和其是同一物种（“鸡”）。注意，我们为什么说两种生物不是一个物种呢？物种又是靠什么来区分的呢？只能是其基因型。所以说最早的鸡和其父母的基因型一定不同。我们知道，作为卵生动物的鸡，是从一个受精卵细胞通过有丝分裂逐步长成的，在细胞有丝分裂的过程中，不会产生变异，因此，这只鸡来源的那个受精卵（“蛋”）的基因和这只鸡也是相同的。所以这个蛋就是最早的鸡“蛋”。

也就是说，先有蛋（受精卵），后有鸡。

那么有人问，那这颗蛋哪里来的呢？回忆一下高中生物书就知道了，这颗蛋产生于其父母的精子和卵子的结合，而精子和卵子是由父亲和母亲的细胞通过减数分裂得到的，在减数分裂的过程中，同源染色体会发生基因交换和变异。正是这些变异导致这颗蛋不同于其父母的基因型。新的物种就是这样产生的。

总结来说，要点就是：“鸡”必须从“蛋”来，但是“蛋”可未必一定要从“鸡”来。

呵呵，后来我搜索google才发现很多人早就得出这个结论了。比如“http://www.iambencn.com/blog/2006/05/29/chicken-and-egg-debate-unscrambled/”。不过我还是蛮高兴自己独立推导出这个答案。

前几天看何炳棣先生的书《读史阅世六十年》，提到英国史学大家爱德华·吉本名著《罗马帝国衰亡史》上的一句名言：

The various modes of worship, which prevailed in the Roman world, were all considered by the people, as equally true; by the philosopher, as equally false; and by the magistrate, as equally useful.

流行于罗马帝国寰宇之内的各种各样的(宗教)信仰(和膜拜)，一般人民看来，都是同样灵验; 明哲之士看来，都是同样荒诞; 统治阶级看来，都是同样有用。

吉本的这本书，论述基督教的发家史尤为详尽和精当。